MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍAS COMPLEJAS

Matemáticas y Geometrías COMPLEJAS

Las matemáticas y la geometría son uno de los pilares sobre los que se ha construido la modernidad. Desde la antigüedad las matemáticas han sido culto de veneración, eran consideradas el lenguaje en el que Dios había escrito el universo, un saber absoluto y principio ordenador anterior a la creación. Por eso mismo, algunos dirán que las matemáticas no son una ciencia, sin embargo, como se verá más adelante, las matemáticas son modelos que surgen de la experiencia y como tales están sujetas a todas las vicisitudes de cualquier campo científico. Las últimas décadas han estado marcadas por descubrimientos sorprendentes que han revolucionado el modo de construir modelos lógicos y nos han permitido movernos por las fronteras del conocimiento para descubrir nuevos alcances de los mismos.

Matemáticas Modernas en Perspectiva

Todo principio matemático tiene la experiencia como primer fundamento, solo más tarde, con la constante formalización de la disciplina, las matemáticas adquieren un alto grado de abstracción. Desde tiempos muy antiguos las primeras culturas demostraron tener conocimientos de aritmética y geometría, ellos observaron el cosmos y los ciclos de la naturaleza y “descubrieron” patrones que se formalizaron en estructuras lógico-geométricas. Buenos ejemplos de ello lo encontramos en estructuras arquitectónicas antiguas como las Pirámides o Stonehenge (Feyerabend, 2013).

Pero ¿Son aquellos patrones matemáticos características del mundo real o propiedades de nuestro espíritu que se proyectan en nuestra experiencia? Desde pequeños comenzamos a identificar propiedades en los objetos: lejos o cerca, arriba o abajo, poco o mucho, rápido o lento, luminoso u oscuro, dentro o fuera, etc. Se cree que las primeras formas de cálculo se derivan del uso de los dedos pues la mayoría de los sistemas numéricos son a la base de 5 o 10. Tales sistemas no tardarían en graficarse con sistemas de notación como el  ábaco, los quipu u otras formas de escritura. Todo esto nos indica que las primeras nociones matemáticas son relaciones entre fenómenos u operaciones sensorio-motrices.

Al desarrollarse formas gráficas de notación, las matemáticas fueron adquiriendo una lógica cada vez más formal o abstracta. La lógica aristotélica definió tres grandes principios que se convirtieron luego en fundamentos del determinismo: (1) un elemento es siempre idéntico a sí mismo, (2) una proposición no puede ser y no ser al mismo tiempo, y (3) cada fenómeno tiene una causa que explica su movimiento. Estos principios suponen, que cada elemento es independiente, que tiene propiedades determinadas, y que las relaciones lógicas entre los elementos pueden ser determinadas en forma precisa (Aristóteles, 1997; 1982).

Laplace (1814) es considerado el máximo representante del determinismo, en su versión más estricta aseguró que si se conocieran “todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen…” se podría diseñar una fórmula matemática simple que permitiría determinar el comportamiento de cada evento dentro del universo. No obstante, el mismo Laplace debió asumir que en ciertos casos los resultados de un suceso solo se podían predecir en términos probabilísticos, llamó a tales fenómenos eventos aleatorios. Pero, cabe preguntarse ¿qué hay detrás de lo indeterminado?; ¿acaso los elementos no tienen una identidad definida?; ¿acaso tales elementos no tienen propiedades características?; ¿acaso los eventos no tienen una causa que pueda definirse en una formula?

La relatividad ya la encontramos en las formulaciones geométricas más sencillas. Por ejemplo la geometría dimensional, muestra como las manifestaciones de un mismo fenómeno en distintas dimensiones pueden diferir entre sí, y cuando fenómenos diferentes se proyectan en una única dimensión pueden manifestar una estructura ambigua o inconsistente (Frankl, 2012). Entonces ¿no serían los resultados matemáticos relativos dependiendo de la perspectiva con la que se mire? 

De mano de Leibniz y Newton las matemáticas modernas abordaron desafíos esquivos hasta entones como el estudio de lo infinito y del movimiento, son campos de conocimientos que hoy conocemos como cálculo diferencial e integral. Sin embargo, las matemáticas  modernas esquivaron otro tipo de problemáticas: “En la naturaleza no se encuentran nunca cambios perfectamente uniformes, tal como que exige la idea que las Matemáticas nos dan del movimiento, ni tampoco en rigor figuras actuales, de la naturaleza de las que la Geometría nos enseña… Pero la comprobación de todas estas reglas en su aplicación al mundo real o a las discusiones metafísicas, no interesan a los matemáticos, porque el cálculo infinitesimal les ha enseñado que basta con una regla de aproximación indefinida a una cantidad tan pequeña o tan grande como se quiera, sin que haya que seguir ese camino paso por paso”según comentaba Leibniz (De Mora, 2012).

Complejidad

Las matemáticas modernas solo nos permiten identificar ciertas tendencias que nos ayudan a bosquejar la dinámica de algunos procesos, y aunque son un acercamiento al tema de la complejidad, aun está lejos de abordar los problemas en su real dimensión. Las matemáticas modernas sabían que todos sus cálculos modelaban con cierto margen de error los fenómenos reales, solo que reducían ese margen de error hasta lo infinitamente pequeño. Pero ¿Cómo abordar fenómenos de gran complejidad como el funcionamiento del cerebro, los ecosistemas o los intercambios culturales, donde la gran cantidad de rangos de error procedentes de infinidad de variables se potencian entre sí? Cabe destacar que cuando se multiplican hechos independientes la probabilidad total disminuye, sin embargo, cuando se potencian fenómenos relacionados las probabilidades aumentan.

Como explica Ashby (1976), es fundamental que el sistema descrito tenga suficiente variabilidad interna, es decir un elevado grado de complejidad para describir con precisión sus contingencias. Esta complejidad básicamente está dada por: la cantidad mínima de elementos con las que puede describir un sistema numérico sin perder información (por ejemplo el sistema binario tiene un menor nivel de complejidad que el sistema decimal) y la cantidad bits de información. De este modo, la descripción precisa de fenómenos complejos nos remite a la teoría de conjuntos, específicamente a la forma de agrupar las propiedades de un sistema. En caso que el modelo matemático considere una menor cantidad de conjuntos su capacidad descriptiva puede disminuir significativamente. El problema de esto, es que la cantidad de elementos que describen un hecho son relativos o arbitrarios, pues la cantidad de variables que se introducen en una formula tienden hacia el infinito en medida que se profundiza en el nivel de análisis. Vemos, entonces dos principios derivados de este campo de estudio: primero, que la complejidad de un fenómeno relacionado con la dificultad de descripción de un elemento; segundo, que los conjuntos tendrán distintas características dependiendo del nivel de análisis o las unidades de medida con que se estudien. Por eso, los sistemas complejos constituyen en nuestros días un gran desafío para el mundo matemático, de hecho es probable que se nos haga imposible abordarlas sin la ayuda de las herramientas computacionales y en complemento con metodologías cualitativas (Cardozo, 2011).

Conjuntos Difusos

Uno de los problemas de las matemáticas modernas se encuentra en la forma en que trabajan variables ambiguas o con una definición difusa, pues desde los principios lógicos del aristotelismo la ambigüedad podría oponerse el principio de no contradicción. No obstante, desde las matemáticas complejas se viene trabajando en una teoría que puede abrir nuevos horizontes a esta disyuntiva, al diseñar una nueva metodología para formalizar sistemas lógicos según criterios de pertenencia difusos (no son nítidos).

Desde la teoría de conjuntos difusos (Zadeh, 1965) un elemento puede pertenecer y no pertenecer a la vez a un mismo conjunto, por ejemplo, si decimos que un clima es caluroso ¿Cómo definimos un criterio para determinarlo?, un matemático moderno crearía categorías con intervalos de corte arbitrarios para definirlo, hasta tantos grados hace frío, entre tantos grados está tibio y con más de tanta temperatura hace calor, en fin, lo que propone la teoría de conjuntos difusos es que esos rangos de temperatura pueden sobreponerse unos a otros, de modo que puede estar frío y tibio al mismo tiempo o incluso frío y caluroso al mismo tiempo. Es interesante notar que la teoría de conjuntos es especialmente útil en la descripción de fenómenos de mayor complejidad, que suelen caracterizarse por la superposición de múltiples conjuntos.

Los conjuntos difusos no establecen distinciones en base a simple distribuciones probabilísticas como se hace con la curva de gauss, más bien se trata de un nuevo modo de aproximarse a la realidad y construirla conceptualmente de modo que dos hipótesis sobre un mismo fenómeno pueden subsistir. La implicancias de esta teoría pueden ser considerables a nivel epistemológico y por consecuencia sobre el modo en que exploramos hipótesis científicas, construimos cuerpos teóricos y permitimos la subsistencia de sistemas culturales (Munne, 1994).

                Fractales

El modelo con que se describe un fenómeno se deriva del nivel de profundidad con el que se analiza. Fiel reflejo de ello es el maravilloso mundo de los fractales, donde podemos estudiar integradamente fenómenos complejos en sus diversos niveles organización, desde lo micro a lo macro. Tal como los describe Mandelbrot (1967; 2007), los fractales son modelos geométricos que siguen patrones autosimilares, tal como los encontrados en la naturaleza, en el mundo vegetal, en los cristales de hielo, en la geografía, en la meteorología, etc. Estas figuras son formaciones geométricas irregulares o fragmentas que repiten un patrón de desarrollo a distintas escalas, de modo que cuando usamos unidades de medida más pequeñas podemos contar un diámetro mayor, pues su dimensión es un número no entero o fracción. Por ejemplo, si queremos medir el largo de Chile podemos usar una unidad de medida de cientos de kilómetros y tener un resultado aproximado, pero si disminuimos nuestra escala y medimos en centímetros, tendremos que fijarnos en las pequeñas entradas de agua en cada una de las rocas lo que nos llevará a calcular un perímetro mucho mayor, también podríamos medirlo en milímetros, micras o unidades de medida infinitamente pequeñas lo que nos llevaría a una cifra aún mayor ¿Cuál de las medidas es válida? obviamente es relativo, algunos matemáticos dirían que simplemente no tiene una extensión determinada, otros más bien se inclinan a decir que tiene todas esas medidas al mismo tiempo.

Los fractales han fascinado a científicos, místicos y artistas, quizá sea por su recursividad autosemejante o por otras de sus sorprendentes cualidades. La mayoría de las representaciones fractales provienen de un algoritmo que se transforma en una impresión digital que se puede explorar a medida que nos acercamos o alejamos de sus vórtices, así podemos considerar un detalle del fractal, pero cuando nos introducimos en el para explorarlo nos damos cuenta que se trata de un intrincadísimo mundo geométrico lleno de detalles, y cada uno de esos detalles es un mundo por sí mismo lleno de pequeños mundos, y así hasta el infinito, mundos dentro de mundos y dentro de mundos. Los fractales se resisten a ser representados, son siempre figuras parciales o incompletas por su infinita riqueza interior (o exterior dependiendo de la perspectiva), solo podemos explorar su contorno, viajando por ella en sus distintas escalas de medida, aún así, por más profundo que exploremos nunca llegaremos a conocer su real dimensión. Por eso, los fractales abren nuestras puertas hacia nuevas formas de pensamiento, el pensamiento fractal no da un lugar privilegiado ningún reduccionismo o absolutismo. Lo más pequeño puede ser grandioso y lo más grandioso solo adquiere identidad por aquellas insignificancias que las componen (Ortiz, 2006).

No- Linealidad y Atractores Caóticos

Ya hemos hablado de que las matemáticas complejas introducen la lógica de conjuntos difusos y la geometría fractal, pero el rasgo más característico de las nuevas matemáticas, la encontramos en la no-linealidad de los sistemas dinámicos. Se les llama matemáticas no-lineales porque sus procesos no pueden ser determinados mediante una regresión lineal en función de una serie de variables independientes como se hace en álgebra clásica.

Las matemáticas modernas abordaban la dinámica de los sistemas desde el cálculo diferencial e integrado, y así lograban detectar predecir o explicar la mayoría de los fenómenos, no obstante, también existía una parte de los datos que no lograba explicarse. Según Poincaré (Delshams, 2004) la clave para entender estos sistemas dinámicos no-lineales estaba en pequeños detalles de sus condiciones iniciales que muchas veces eran difíciles de precisar, pero que en el curso de la evolución del sistema los efectos de esas pequeñas condiciones iniciales se acumulaban hasta generar efectos contraintuitivos de magnitud, que terminaban por cambiar completamente el funcionamiento del modelo matemático que lo describía. Así por ejemplo, un modelo matemático que en general funcionaba según una ecuación lineal clásica (determinista), repentinamente se comportaba según principios aleatorios, pasando del orden al caos de modo abrupto.

Muchos fenómenos cotidianos parecen contradecir nuestra lógica, podemos decir por ejemplo “el día estaba brillante y despejado, nada predecía que ese día hubiera tormenta”, los matemáticos siempre han quedado intrigados ante estos procesos y han diseñado intrincados modelos geométricos para describirlos. Probablemente la forma más fácil de modelar un sistema dinámico no-lineal es con atractores. Los atractores son modelos que describen la trayectoria de ciertos indicadores en un sistema dinámico. Digamos que un conjunto de estados de un sistema son descritos unos tras otros en una cinta de medir, cada uno se sus números describe la trayectoria que presenta la variable, si la cinta está estirada diremos que se trata de un atractor muy simple o de comportamiento clásico, también diremos que se trata de un atractor clásico si juntamos los extremos de una corta cinta porque podremos predecir relativamente bien cuales números vendrán en seguida de otros, en este último caso se repetirán periódicamente: 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5…Sin embargo, no podremos decir lo mismo de una extensa cinta plegadas en cientos de partes, donde unas partes se contectan con otras como una madeja de lana, entonces diremos que debido a su complejidad la continuidad de la cinta se vuelve casi impredecible pues la periodicidad de los números se vuelve más infrecuente: 1,3,4,5,9,6,1,3,5,8,2,6,3,9…2,8,5,1……..1,3,4,5,9…etc. llamamos entonces a estos modelos atractores extraños o caóticos (Capra, 2004).

Uno de los atractores caóticos más conocidos es el atractor de Lorenz, el cual describe fenómenos de convección meteorológica de alta complejidad mediante ecuaciones no-lineales. En este atractor se aprecia como una causa inicialmente irrelevante puede magnificarse hasta generar un efecto que podría parecer inicialmente desproporcionada, sabemos que se pueden hacer prediciones con este modelo si conocemos con mucho detalle las condiciones inciales del modelo, sin embargo, en la práctica la complejidad del atractor hace casi imposible realizar prediciones que no sean próximas en el tiempo, por ejemplo, desde prácticamente el mismo punto de origen dos trayectorias pueden tomar cursos de desarrollo completamente distintos (Lorenz, 1963).

  

El estudio de este tipo de atractores extraños y de las ecuaciones no-lineales  se ha transformado en todo un campo de investigación donde se cruzan la teoría de las catástrofes o la teoría del caos o de estructuras discipativas.

La teoría de catástrofes, desarrollada por René Thom (1977), es una rama de investigación que estudia básicamente las bifurcaciones de trayectoria de los sistemas dinámicos, es decir, los cambios repentinos del comportamiento de un sistema dinámico. Es un área de las matemáticas que combina la creación de modelos matemático-geométricos sobre el comportamiento de sistemas para luego estudiar cualitativamente la topología diferencial de dichos modelos, es entonces un ámbito que estudia como evolucionan las formas o morfologías, por eso se dice que se puede entender como una teoría morfogenética.

Por otra parte, el estudio de las estructuras discipativas es un campo de investigación, iniciado por Ilya Prigogine (2008), que trata sobre la forma en que se comportan los sistemas alejados del equilibrio. Muchos de los principios que se han mencionado dentro de las matemáticas complejas son aplicables a este campo de estudio; lo que se ha observado es que los sistemas caóticos, que están discipando energía, es que  experimentan cambios de transiciones de fase en modo estacionario, de modo que en cada salto se configuran nuevas estructuras autoorganizadas, son entonces una forma morfogenética que se expresa ante ciertas condiciones en particular. Todas estas transiciones de fase han dado sustento a la teoría morfogénética de Turing, lo que ha permitido explicar la emergencia los patrones en el mundo natural (Martín-Sánchez, Martín-Sánchez y Pinto, 2012).

                Incompletud

No obstante, suponiendo que logremos describir un sistema lógico-matemático-geométrico con suficiente complejidad nos encontramos con otro tipo de problemas. A finales del siglo XIX, Hilbert propuso una serie de desafíos que impulsaron la investigación más allá de las fórmulas y ecuaciones. Una de las problemáticas más intrigantes fue abordada por Godel. En términos sencillos, Godel (Ballester, Cordero, Campos, Sánchez y Rodríguez, 2012) se preguntaba: “¿Puede contestarse toda pregunta matemáticamente bien enunciada?”, en otras palabras “¿Todo enunciado matemático-lógico es demostrable, ya sea algo falso o verdadero?”. La respuesta la encontramos en el teorema de incompletud, esta teoría establece que cualquier sistema lógico es por necesidad incompleto y requiere una referencia externa para comprobarse a sí mismo, y por lo tanto, toda arquitectura argumental cerrada se sustenta en axiomas que no pueden probarse ni refutarse por sí mismos. Más adelante, Turing (De la Fuente, 2010) trató de formular este problema mediante un algoritmo computacional, demostrando que una máquina solo es capaz de reconocer conjuntos recursivos de signos y que no existe un algoritmo capaz de decidir sobre una proposición externa a este sistema recursivo. Es que la complejidad reside precisamente en la interdependencia entre los fenómenos, incluido el observador.

Hay problemas que definitivamente no pueden ser resueltos en los sistemas lógico-matemáticos-geométricos descubiertos hasta el momento. Como explica Wiener (1964), en lo que respecta a nociones espirituales superlativas como la omnipotencia y omnisciencia, donde la lógica tiende hacia el infinito, se entra en el terreno de las llamadas formas indeterminadas, de modo que la lógica matemática no se ajusta a los cálculos con números ordinarios (infinito dividido infinito, infinitas veces cero, o infinito menos infinito, cero dividido cero, etc.).

BIBLIOGRAFÍA 

http://vidaculturaycosmos.blogspot.cl/2017/02/bibliografia.html